本文同步刊載於《關鍵評論網》2020/11/13、《科技橘報》2020/11/19
前情提要
美國總統大選結果剛出爐，即使拜登入主白宮大勢已定，川粉對於開票結果仍感到不滿，認為民主黨利用作票偷走了總統寶座。許多網上瘋傳的各種作票指證，已有不少事實查核網站說明，在此不贅述。
唯獨其中一個指證，至今仍無人可反駁 — — 拜登的得票數不符合「班佛定律」的分佈，代表存在人為操縱的可能性 。
難以反駁原因很多。這個定理早有數學家跟公式證明背書，不是阿貓阿狗胡謅出來的；所使用的得票數據並非杜撰、而是官方認證版本，事實查核網站無法否認其真實性；最後，從圖表上看來，拜登得票的數字也確實比川普背離「班佛定律」。有官方數字、有精美圖表、有數學定理、再加上專家背書，頗有「不服來辯」的氣勢！
所以，這位已仙逝70多年的班佛先生，會是川普唯一的救星嗎？
班佛定律能吃嗎
在《假帳殺手一號》一文中，我用台灣鄉鎮的人口數說明複雜的班佛定律 — — 在自然發生、不受限制的觀察值中，首位數字是1的出現機率最高，約佔全體觀察值30.1%，再來是2的17.6%，其餘依序遞減。
由於台灣人民可自由遷徙到全台368個鄉鎮，每個鄉鎮的人口數字屬於自然發生、不受限制的觀察值，因此這368個人口數的首位數，理論上來說會符合班佛定律，也就是人口數為1開頭（1,000多人到10萬多人都算唷）的鄉鎮數，約為110個左右（368個鄉鎮的30%）。
而實際上有多少呢？106個，與理論值十分接近。這代表政府公布的人口統計數據，並沒有造假。（是說造假要幹嘛…）
川粉怎麼說
Github上熱心網友放了幾個城市的開票數，以及班佛定律分析的結果。下圖是喬治亞州富爾頓縣（Fulton County）共384個投票所的票數分析，以中間的拜登為例，共有381個投票所（N）開出他的票，得票數為1開頭（X軸）的投票所有150個（Y軸、藍色長條）。不過，按照班佛定律，應該只能有114個左右（Y軸，紅色圓點）。
再看其它藍色長條與紅色圓點的距離，是不是僅從肉眼就能知道拜登在富爾頓縣的得票數，違背了班佛定律呢？
川粉請先別急著說「對！果然有問題！」。往左邊看到川普的班佛定律分析圖，是不是也覺得怪怪的？
洛杉磯才奇怪呢
看完富爾頓縣的分析圖，不禁懷疑該網友是不是反串川粉，怎麼會拿一個圖出來自打嘴巴。而且，看來這位網友並不清楚班佛定律的應用限制。
除了前面提到的「自然發生、不受限制」以外，班佛定律在應用上還有一個致命傷 — — 觀察值建議至少3,000筆資料以上。富爾頓縣才384個投票所，根本不應該使用班佛定律才對。（台灣鄉鎮人口數嚴格來說也不應使用，僅適合舉例）
這也是為什麼會出現「想打臉拜登，結果連川普一起打」這種窘境的原因。
既然如此，我改用美國人口最多的加州洛杉磯郡（Los Angeles County）來分析，因為從官方公布資料看來，洛杉磯郡有3,383個投票所，剛好符合班佛定律的要求。
先來看看洛杉磯的川普。從下圖可以看到，僅有得票數1開頭的投票所數比班佛定律少，其餘還算接近。
那洛杉磯的拜登呢？
下圖絕對會讓川粉沸騰，因為除了首位數5以外，其它都背離了班佛定律一大截！
川粉請先別大喊「抓到了齁拜登！」。
這裡有一個邏輯上的陷阱 — —每個投票所的得票數，真的如台灣鄉鎮人口數一樣，是「自然發生、不受限制」嗎？
無論是美國或台灣，為了分散投票人潮，讓投票與開票更有效率，投票所在設置上會將投票民眾「平均」分散，拉近每個投票所的負荷。這個平均分散的概念，將每個投票所的投票人數訂了上限，因此不可能「自然發生、不受限制」，所以並未滿足班佛定律的應用限制。
數字會說話，我們來看洛杉磯各投票所的註冊投票人數。由下圖以及實際註冊資料可以看得出來，3,383個投票所中，為了分散投票人潮，每個投票所大多處理1,000至2,000多名左右的民眾。
既然投票人數都不自然了，得票數自然也不可能自然。拜登在洛杉磯郡的支持率約在40%至60%之間，再考量每個投票所的註冊人數差異不大，因此出現與班佛定律背離的狀況，並不意外。
再者，剛剛沒說、川粉可能聽不下去的壞消息是 — — 透過統計值檢驗，川普在洛杉磯郡的得票數，其實也不符合班佛定律。
眼睛確實業障重呀！
第一階段初步結論有兩個：
- 太小的郡縣，投票所數量不到3,000，無法滿足班佛定律的第一個應用限制。
- 為了分散投票人潮，每個投票所的投票人數並非「自然發生、不受限制」，違反了班佛定律的第二個應用限制。
所以，以上不管是拜登還是川普得票數違反班佛定律的立論，基本上都不成立。
那班佛有啥屁用
首先，我們得想辦法滿足班佛定律的應用限制，它才能發揮作用。
第一個要解決的問題，是投票所得票數不夠「自然」。如果說「平均後」的得票數不自然，那我們為何不利用「平均前」呢？
什麼是「平均前」？
以洛杉磯郡3,383個投票所為例，「平均後」是各投票所的得票數，「平均前」則是洛杉磯郡的總得票數。
但這又出現一個問題，一個候選人才一個總得票數，這不是又不符合另一個3,000筆以上的要求了嗎？
幸好美國幅員廣大，50州加上哥倫比亞特區，下轄4,600多個行政區（如洛杉磯郡），只要把範圍擴大到每個次級行政區的總得票數，問題就能迎刃而解。
下圖是川普在全美各行政區的得票數分析，非常貼近班佛定律。
接下來的拜登分析圖，請川粉往下看之前，先深深吸一口氣。
沒錯，不管是拜登或是川普，全美各行政區的得票數都符合班佛定律。
可能有些川粉還是堅持，明明拜登的看起來就比較奇怪。的確，如前面所說，眼睛本身業障重，在判定資料是否符合班佛定律時，最嚴謹的方式必須採用卡方檢定或MAD來檢驗……
（此處略過一萬字）
而不管川普或拜登的全美得票數，都通過上述統計值的檢驗，確認符合班佛定律的。
小小結論
班佛定律並不想（也無法）證明選舉過程完全沒有一丁點的作票（川粉說法）或失誤（拜粉認為）。它想要述說的重要結論是，從各行政區現有的得票資料分佈，加上美國特有的選舉人團制，理論上在此次2020大選中，並沒有「大規模到足以影響選舉結果」的作票行為（或失誤）。
身為美國人的班佛先生若「天堂」有知，看到這次祖國大選的混亂狀況，不知會作何感想？
後記
在蒐集全美得票資料時，非常痛苦。不同媒體，得票數居然還有些許的差距；有些州政府已公布詳細數字、有的還沒公布。主要以NBC網站為主，輔以New York Times及各州政府的選舉網站，已盡個人最大努力減少錯誤。不過，由於選舉結果還有一「丁」點變數，因此最終數字可能與本次分析稍有不同。